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4.如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,∠BAD=60°,AB=4,AD=2,側(cè)棱PB=15,PD=3
(1)求證:BD⊥平面PAD;
(2)若PD與底面ABCD成60°的角,試求二面角P-BC-A所成的平面角的正切值.

分析 (1)利用余弦定理求出BD.推出△ABD是直角三角形,AD⊥BD,然后證明PD⊥BD.可證明BD⊥平面PAD.
(2)說明平面PAD⊥平面ABCD.作PE⊥AD于E,說明∠PDE是PD與底面BCD所成的角,作EF⊥BC于F,連PF,說明∠PFE是二面角P-BC-A的平面角.然后求解二面角P-BC-A所成的平面角的正切值.

解答 (本小題滿分12分)
解  (1)由已知AB=4,AD=2,∠BAD=60°,
得BD2=AD2+AB2-2AD•ABcos60°=4+16-2×2×4×12=12.
AB2=AD2+BD2,
∴△ABD是直角三角形,∠ADB=90°,

即AD⊥BD
在△PDB中,PD=3,PB=15,BD=12,
∴PB2=PD2+BD2,故得PD⊥BD.
又PD∩AD=D,∴BD⊥平面PAD.
(2)∵BD⊥平面PAD,BD?平面ABCD,
∴平面PAD⊥平面ABCD.
作PE⊥AD于E,又PE平面PAD,∴PE⊥平面ABCD,
∴∠PDE是PD與底面BCD所成的角,∴∠PDE=60°,
∴PE=PDsin60°=332=32
作EF⊥BC于F,連PF,則PF⊥BC,∴∠PFE是二面角P-BC-A的平面角.
又EF=BD=12,∴在Rt△PEF中,
tan∠PFE=PEEF=3223=34
故二面角P-BC-A所成的平面角的正切值為34

點(diǎn)評 本題考查直線與平面垂直,平面與平面垂直,直線與平面市場價以及二面角,考查計(jì)算能力空間想象能力.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

14.某網(wǎng)絡(luò)媒體為了解其市場占有率,隨機(jī)抽取50位網(wǎng)民,調(diào)查他們是否為該網(wǎng)絡(luò)媒體的會員,結(jié)果如下:
 是否為會員
性別
 是否 
 男生 20
 女生 1015 
(I)已按性別采用分層抽樣的方式從這50位網(wǎng)民中抽取了6人,為進(jìn)一步了解他們對該媒體的滿意度,需從這6人中隨機(jī)選取2人進(jìn)行問卷調(diào)查,求選取的2人中有女生的概率;
(Ⅱ)能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為網(wǎng)民是否為該媒體會員與性別有關(guān)?下面的臨界值表供參考:
 P(K2≥k0 0.150.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 
 k0 2.072 2.7063.841 5.024 6.635 7.879 10.828 
獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量K2=nadbc2a+bc+da+cb+d,其中n=a+b+c+d.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

15.為了解某班學(xué)生喜愛打籃球是否與性別有關(guān),對本班50人進(jìn)行了問卷調(diào)查得到了如表的列聯(lián)表:
喜愛打籃球不喜愛打籃球合計(jì)
男生5
女生[來10
合計(jì)50
已知在全部50人中隨機(jī)抽取1人抽到喜愛打籃球的學(xué)生的概率為35
(1)請將上面的列聯(lián)表補(bǔ)充完整;
(2)是否有99%的把握認(rèn)為喜愛打籃球與性別有關(guān)?說明你的理由.
參考數(shù)據(jù):χ2=nadbc2a+cb+da+bc+d
當(dāng)χ2≤2.706時,沒有充分的證據(jù)判定變量A,B有關(guān)聯(lián),可以認(rèn)為變量A,B是沒有關(guān)聯(lián)的;
當(dāng)χ2>2.706時,有90%的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián);
當(dāng)χ2>3.841時,有95%的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián);
當(dāng)χ2>6.635時,有99%的把握判定變量A,B有關(guān)聯(lián).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

12.設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列,Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4構(gòu)成等差數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)令bn=(n+1)log2an+1.證明:1b1++…+1bn1+1bn<1.

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19.有5名男醫(yī)生、6名女醫(yī)生,從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個醫(yī)療小組,則不同的選法共有( �。�
A.60種B.70種C.75種D.150種

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9.已知{an}是斐波那契數(shù)列,滿足a1=1,a2=1,an+2=an+1+an(n∈N*).{an}中各項(xiàng)除以4所得余數(shù)按原順序構(gòu)成的數(shù)列記為{bn},則b2015=1.

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(1)求證:M、O、D、N四點(diǎn)共圓;
(2)求證:∠MDC=∠NDC.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

14.已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示,該四棱錐( �。�
A.四個側(cè)面的面積相等
B.四個側(cè)面中任意兩個的面積不相等
C.四個側(cè)面中面積最大的側(cè)面的面積為6
D.四個側(cè)面中面積最大的側(cè)面的面積為25

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