Question

（08年東北師大附中三摸理） （12分）如圖，在直角梯形P₁DCB中，P₁D∥CB，CD⊥P₁D，P₁D＝6，BC＝3，DC＝，A是P₁D的中點，E是線段AB的中點，沿AB把平面P₁AB折起到平面PAB的位置，使二面角P－CD－B成45°角．

   （Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；

   （Ⅱ）求平面PEC和平面PAD所成的銳二面角的大小．

                           

Answer 1

解析：證明(Ⅰ)                 　　

　　　　AB∥DC，DC平面PAD．

　　DCPD  DCAD，　　PDA為二面角P－CD－B的平面角．………3分　　

　　故PDA＝45°  PA＝AD＝3，  APD＝45°． PAAD．

　　又PAAB ，PA平面ABCD．　　　　……………………………………6分

                                                                                                                                                           

   （Ⅱ）證法一：延長DA，CE交于點N，連結(jié)PN,　

由折疊知又．

，

又由（１）知，

為二面角的平面角．………9分

在直角三角形中，

，．

即平面PEC和平面PAD所成銳二面角為30°． ……………………………………12分

證法二：如圖建立空間直角坐標(biāo)系 ，則

，設(shè)為平面的法向量，則

，可設(shè)，

又平面的法向量，

．

．