Question

已知函數(shù) (為實(shí)常數(shù)) 

 （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值及相應(yīng)的值；

（2）當(dāng)時(shí)，討論方程根的個(gè)數(shù)

（3）若，且對任意的，都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

 

Answer 1

【答案】

（1）當(dāng)時(shí)；（2）當(dāng)時(shí)，方程有2個(gè)相異的根；當(dāng) 或時(shí)，方程有1個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)根；（3） 

【解析】

試題分析：(1) 利用導(dǎo)數(shù)求解極值點(diǎn)，然后確定單調(diào)性，分析最值；(2)把方程的根轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，進(jìn)而求最值，然后分析交點(diǎn)的情形即根的情形；（3）通過對函數(shù)單調(diào)性的分析，可得導(dǎo)數(shù)在區(qū)間上大于零恒成立問題，然后轉(zhuǎn)化為最值求解

試題解析：（1），

當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)，，

又，

故，當(dāng)時(shí)，取等號         4分

（2）易知，故，

方程根的個(gè)數(shù)等價(jià)于時(shí)，方程根的個(gè)數(shù)。

設(shè)=，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)遞增。

又，，作出與直線的圖像，由圖像知：

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，方程有2個(gè)相異的根；

當(dāng) 或時(shí)，方程有1個(gè)根；

當(dāng)時(shí)，方程有0個(gè)根；                10分

（3）當(dāng)時(shí)，在時(shí)是增函數(shù)，又函數(shù)是減函數(shù)，不妨設(shè)，則等價(jià)于

即，故原題等價(jià)于函數(shù)在時(shí)是減函數(shù)，

恒成立，即在時(shí)恒成立。

在時(shí)是減函數(shù)               16分

（其他解法酌情給分）

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值