Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=BC=2，AD=CD=

7

，PA=

3

，∠ABC=120°，G為線段PC的中點．
（1）證明：平面PBD⊥平面PAC；
（2）求DG的長．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,棱錐的結(jié)構(gòu)特征

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）設(shè)O為AC，BD的交點，由AB=BC，AD=CD，得BD⊥AC，由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BD，從而BD⊥平面APC，由此能證明平面PBD⊥平面PAC．
（2）連結(jié)OG，由題意得OG=

1

2

PA=

3

2

，AC=2

3

，OC=

1

2

AC=

3

，在Rt△OCD中，OD=

CD2-OC2

=2，由此能求出DG．

解答： （1）證明：設(shè)O為AC，BD的交點，
∵AB=BC，AD=CD，∴BD是AC的中垂線，
∴O為AC的中點，BD⊥AC，
又∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，又PA∩AC=A，∴BD⊥平面APC，
∵BD?平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC．
（2）解：連結(jié)OG，由（1）知OD⊥APC，
∴DG在平面APC內(nèi)的射影為OG，
由題意得OG=

1

2

PA=

3

2

，
AC=

4+4-2×2×2×cos120°

=2

3

，
∴OC=

1

2

AC=

3

，在Rt△OCD中，OD=

CD2-OC2

=2，
∴DG=

OG2+OD2

=

3 4 +4

=

17

2

．

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．