Question

18．設數列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，a_n+1=2S_n+3，則通項a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{5×{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．（n∈N^*）．

Answer 1

分析 a₁=1，a_n+1=2S_n+3，n=1時，a₂=2a₁+3=5．n≥2時，a_n=2S_n-1+3，相減可得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，
數列{a_n}從第二項開始為等比數列．利用通項公式即可得出．

解答 解：∵a₁=1，a_n+1=2S_n+3，
∴n=1時，a₂=2a₁+3=5．
n≥2時，a_n=2S_n-1+3，相減可得：a_n+1-a_n=2a_n，即a_n+1=3a_n，
∴數列{a_n}從第二項開始為等比數列．
a_n=5×3^n-2．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{5×{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．（n∈N^*）．
故答案為：$\left\{\begin{array}{l}{1，n=1}\\{5×{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．（n∈N^*）．

點評 本題考查了數列遞推關系、等比數列的通項公式、分類討論方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．