已知過點M（1，0）的直線交橢圓C：x2+3y2=6于A，B兩點．
（1）求弦AB中點的軌跡方程；
（2）若F為橢圓C的左焦點，求△ABF面積的最大值．
（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB中點（x，y），則
∵過點M（1，0）的直線交橢圓C：x2+3y2=6于A，B兩點，
∴x12+3y12=6，x22+3y22=6，
兩式相減可得2x（x1-x2）+6y（y1-y2）=0，
∴
y1-y2
x1-x2
=-
x
3y
，
∵弦AB的斜率為
y
x-1
，
∴
y
x-1
=-
x
3y
，
化簡可得弦AB中點軌跡方程為x2+3y2-x=0．
（2）設(shè)直線AB方程為x=my+1，代入x2+3y2=6中，化簡得(m2+3)y2+2my-5=0，于是y1+y2=
-2m
m2+3
，y1y2=
-5
m2+3
．
又S△ABF=S△AMF+S△BMF=
1
2
|AF||y1-y2|，F(xiàn)（-2，0）
∴S2=
9
4
(y1-y2)2=
27(2m2+5)
(m2+3)2
=-27[
1
(m2+3)2
-
2
m2+3
]．
令t=
1
m2+3
，則0＜t≤
1
3
．S2=-27(t2-2t)=-27(t-1)2+27．
∴t=
1
3
時，S有最大值，最大值為
15
．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知圓的方程x2+y2=25，點A為該圓上的動點，AB與x軸垂直，B為垂足，點P分有向線段BA的比λ=
3
2
．
（1）求點P的軌跡方程并化為標準方程形式；
（2）寫出軌跡的焦點坐標和準線方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

一條線段的長等于10，兩端點A、B分別在x軸和y軸上滑動，M在線段AB上且
AM
=4
MB
，則點M的軌跡方程是（　�。�
A．x2+16y2=64B．16x2+y2=64C．x2+16y2=8D．16x2+y2=8

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若動點P（x1，y1）在曲線y=2x2+1上移動，則點P與點（0，-l）連線中點的軌跡方程為（　�。�
A．y=2x2B．y=4x2C．y=6x2D．y=8x2

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若△ABC的個頂點坐標A（-4，0）、B（4，0），△ABC的周長為18，則頂點C的軌跡方程為（　�。�
A．
x2
25
+
y2
9
=1		B．
y2
25
+
x2
9
=1（y≠0）
C．
x2
16
+
y2
9
=1（y≠0）		D．
x2
25
+
y2
9
=1（y≠0）

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知與曲線C：x2+y2-2x-2y+1=0相切的直線l交x軸、y軸于A、B兩點，O為原點，且|OA|=a，|OB|=b，（a＞2，b＞2）．
（1）求證：曲線C與直線l相切的條件是（a-2）（b-2）=2；
（2）求線段AB中點的軌跡方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知圓C：x2+（y-1）2=5，直線l：mx-y+1-m=0．
（1）判斷直線l與圓C的位置關(guān)系；
（2）設(shè)l與圓C交與不同兩點A、B，求弦AB的中點M的軌跡方程；
（3）若定點P（1，1）分弦AB為
AP
PB
=
1
2
，求此時直線l的方程．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

平面直角坐標系中，已知A（-2，0），B（2，0），C（1，0），P是x軸上任意一點，平面上點M滿足：
PM
•
PB
≥
CM
•
CB
對任意P恒成立，則點M的軌跡方程為______．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

從橢圓短軸的一個端點看長軸的兩個端點的視角為，那么此橢圓的離心率為（   ）
A．B．C．D．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊答案