Question

【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，過這兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，且這兩條切線相交于點(diǎn).

（1）若的坐標(biāo)為，求的值；

（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過的直線與線段為直徑的圓相切，切點(diǎn)為，且直線與拋物線交于兩點(diǎn)，證明： .

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】試題分析：

（1）由題意可得拋物線的方程為，設(shè)切線的方程為，將其代入拋物線方程可得，根據(jù)判別式為零可得，驗證可得。（2）由條件得以線段為直徑的圓為圓，只考慮斜率為正數(shù)的直線，因為為直線與圓的切點(diǎn)，所以， ，故。又直線的方程為，將其代入拋物線方程由代數(shù)法可得弦長，從而可得結(jié)論成立。

試題解析：

（1）由拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，得，

所以拋物線的方程為.

設(shè)切線的方程為，

由消去整理得，

由得，

當(dāng)時，可得的橫坐標(biāo)為，則，

當(dāng)時，同理可得.

綜上可得。

（2）由（1）知， ，

所以以線段為直徑的圓為圓，

根據(jù)對稱性，只要探討斜率為正數(shù)的直線即可，

因為為直線與圓的切點(diǎn)，

所以， ，

所以，

所以，

所以直線的方程為，

由消去整理得，

因為直線與拋物線交于兩點(diǎn)，

所以，

設(shè)，

則

所以，

所以。