Question

已知函數f(x)=log2(4x+1)+kx(k∈R)是偶函數．
（1）求k的值；
（2）若f（2t²+1）＜f（t²-2t+1），求t的取值范圍；
（3）設函數g(x)=log2(a•2x-

4

3

a)，其中a＞0，若函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知中函數f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數．由偶函數的定義，構造一個關于k的方程，解方程即可求出k的值．
（2）由于f（x）=log₂（4^x+1）-x=log₂

4x+1

2x

在（0，+∞）上是增函數，故由不等式可得 t²-2t+1＞2t²+1，由此求得t的范圍．
（3）函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個交點，即方程log2(4x+1)-x=log2(a•2x-

4

3

a) 在區(qū)間（log2

4

3

，+∞）上有唯一解，利用換元法，化為整式方程，分類討論，求得a的范圍．

解答：解：（1）∵函數f（x）=log₂（4^x+1）+kx（k∈R）是偶函數，
∴f（-x）=log₂（4^-x+1）-kx=f（x）=log₂（4^x+1）+kx恒成立，
即log₂（4^x+1）-2x-kx=log₂（4^x+1）+kx恒成立，
解得k=-1．
（2）由（1）可得，f（x）=log₂（4^x+1）-x=log₂ 

4x+1

2x

 在（0，+∞）上是增函數，
故由f（2t²+1）＜f（t²-2t+1）可得 t²-2t+1＞2t²+1，解得-2＜t＜0，即不等式的解集為（-2，0）．
（3）∵a＞0，∴函數g(x)=log2(a•2x-

4

3

a)的定義域為（log2

4

3

，+∞），
即方程log2(4x+1)-x=log2(a•2x-

4

3

a) 在區(qū)間（log2

4

3

，+∞）上有唯一解，
即方程

4x+1

2x

=a•2^x-

4

3

a 在區(qū)間（log2

4

3

，+∞）上有唯一解．
令令2^x=t，則t＞

4

3

，因而等價于關于t的方程（a-1）t²-

4a

3

t-1=0at-1=0（*）在（

4

3

，+∞）上只有一解．
當a=1時，解得t=-

3

4

，不合題意；
當0＜a＜1時，記h（t）=（a-1）t²-

4a

3

t-，其圖象的對稱軸t=

2a

3(a-1)

，
∴函數h（t）在（0，+∞）上遞減，而h（0）=-1
∴方程（*）在（

4

3

，+∞）上無解．
當a＞1時，其圖象的對稱軸t=

2a

3(a-1)

＞0，
所以，只需h（

4

3

）＜0，即

16

9

（a-1）-

16

9

a-1＜0，此式恒成立，∴此時a的范圍為a＞1．
綜上所述，所求a的取值范圍為（1，+∞）．

點評：本題考查的知識點是函數與方程的綜合運用，偶函數的性質，函數的單調性的應用，其中根據偶函數的定義求出k值，進而得到函數f（x）的解析式，是解答的關鍵，屬于中檔題．