Question

已知f（x）=lnx，g（x）=

1

2

x²+mx+

7

2

（m＜0），直線l與函數f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數f（x）的圖象的切點的橫坐標為1．
（Ⅰ）求直線l的方程及m的值．
（2）在（1）的條件下求函數F（x）=x-

m

x

（x＞0）的值域．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的單調性

專題：計算題,導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）由題意，f′（x）=

1

x

，g′（x）=x+m（m＜0），從而可得直線l的斜率為k=f′（1）=1，切點為（1，0）；從而求出直線方程，聯立令△=0求m；
（2）代入得F（x）=x+

2

x

，利用基本不等式求值域．

解答： 解：（1）由題意，f′（x）=

1

x

，g′（x）=x+m（m＜0），
故直線l的斜率為k=f′（1）=1，切點為（1，0）；
故直線l的方程為y=x-1；
即x-y-1=0；
由

1 2 x2+mx+ 7 2 =y y=x-1

消y得，
x²+2（m-1）x+9=0；
故4（m-1）²-4×9=0，
解得，m=-2（m＜0）；
（2）由題意F（x）=x+

2

x

≥2

2

；
（當且僅當x=

2

x

，即x=

2

時，等號成立）
故函數F（x）=x-

m

x

（x＞0）的值域為[2

2

，+∞）．

點評：本題考查了導數的綜合應用及導數的幾何意義，同時考查了基本不等式的應用，屬于中檔題．