分析:(1)由
f(x)=alnx+x2-(1+a)x(x>0),得
f′(x)=+x-(1+a),x>0,由此根據(jù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論,能求出函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.
(2)由于f(1)=-
-a,當(dāng)a>0時(shí),f(1)<0,此時(shí)f(x)≥0對定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的.當(dāng)a≤0時(shí),由(1)得f(x)在區(qū)間(0,+∞)上取得最小值為f(1)=-
-a,由此能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.
(3)由(2)知,當(dāng)a=-
時(shí),f(x)=-
lnx+x2-x≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號成立,這個(gè)不等式等價(jià)于lnx≤x
2-x.由此能夠證明對任意的正整數(shù)m,n,不等式
++…+>恒成立.
解答:解:(1)∵
f(x)=alnx+x2-(1+a)x(x>0),
∴
f′(x)=+x-(1+a),x>0,
①當(dāng)a≤0時(shí),若0<x<1,則f′(x)<0,
故函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,1);
若x>1,則f′(x)>0,故函數(shù)f(x)的增區(qū)間是(1,+∞).
②當(dāng)0<a<1時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(a,1);
單調(diào)增區(qū)間是(0,a),(1,+∞).
③當(dāng)a=1時(shí),則
f′(x)=≥0,
故函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0,+∞);
④當(dāng)a>1時(shí),函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(1,a);
函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,1),(a,+∞).
(2)由于f(1)=-
-a,
當(dāng)a>0時(shí),f(1)<0,
此時(shí)f(x)≥0對定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的.
當(dāng)a≤0時(shí),由(1)得f(x)在區(qū)間(0,+∞)上的極小值,也是最小值為f(1)=-
-a,
此時(shí),f(1)≥0,解得a≤-
,
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,-
).
(3)由(2)知,當(dāng)a=-
時(shí),
f(x)=-
lnx+x2-x≥0,當(dāng)且僅當(dāng)x=1時(shí),等號成立,
這個(gè)不等式等價(jià)于lnx≤x
2-x.
當(dāng)x>1時(shí),變換為
>==-,
在上面的不等式中,
令x=m+1,m+2,…,m+n,則有
++…+>
(-)+(-)+…+(-
),
即對任意的正整數(shù)m,n,不等式
++…+>恒成立.