Question

9．已知{a_n}滿足${a_1}=1，{a_n}+{a_{n+1}}={（{\frac{1}{4}}）^n}（{n∈{N^*}}），{S_n}={a_1}+4•{a_2}+{4^2}•{a_3}+…+{4^{n-1}}{a_n}$，類比課本中推導等比數(shù)列前n項和公式的方法，可求得${S_n}-\frac{4^n}{5}{a_n}$=$\frac{n}{5}$．

Answer 1

分析 先對S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 兩邊同乘以4，再相加，求出其和的表達式，整理即可求出5S_n-4ⁿa_n的表達式，即可求出${S_n}-\frac{4^n}{5}{a_n}$．

解答 解：由S_n=a₁+a₂•4+a₃•4²+…+a_n•4^n-1 ①
得4•s_n=4•a₁+a₂•4²+a₃•4³+…+a_n-1•4^n-1+a_n•4ⁿ ②
①+②得：5s_n=a₁+4（a₁+a₂）+4²•（a₂+a₃）+…+4^n-1•（a_n-1+a_n）+a_n•4ⁿ
=a₁+4×$\frac{1}{4}$+${4}^{2}•（\frac{1}{4}）^{2}$+…+4ⁿ•a_n
=1+1+1+…+1+4ⁿ•a_n
=n+4ⁿ•a_n．
所以5s_n-4ⁿ•a_n=n．
故${S_n}-\frac{4^n}{5}{a_n}$=$\frac{n}{5}$，
故答案為$\frac{n}{5}$．

點評 本題主要考查數(shù)列的求和，用到了類比法，是一道比較新穎的好題目，關鍵點在于對課本中推導等比數(shù)列前n項和公式的方法的理解和掌握．