Question

已知x²-20x+64≤0的解集為A，當的值域為B．
（1）求集合B；
（2）當x∈B時不等式1+2^x+4^xa≥0恒成立，求a的最小值．

Answer 1

解：（1）A={x|4≤x≤16}
f（x）=（log₂x-3）（log₂x-2）=（log₂x）²-5log₂x+6
令t=log₂x，則t∈[2，4]，
∵t∈[2，4]，
∴時，y取得最小值，t=4時，y取得最大值2
∴
（2）分離參數(shù)可得：
設(shè)
當x∈B時不等式1+2^x+4^xa≥0恒成立，可轉(zhuǎn)化為a≥g（x）_max
∵在上遞增
∴
∴
分析：（1）先化簡集合A，再利用對數(shù)的運算法則，化簡函數(shù)，利用換元法，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，求出集合B；
（2）分離參數(shù)，將當x∈B時不等式1+2^x+4^xa≥0恒成立，轉(zhuǎn)化為a≥g（x）_max即可．
點評：本題以集合為載體，考查函數(shù)的值域，考查恒成立問題，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值，利用分離參數(shù)法解決恒成立問題．