已知f(x)=x2+x+c，且f[f(x)]=f(x2+x+1)

（1）設(shè)g(x)=f[f(x)]，求g(x)的解設(shè)式；

（2）設(shè)j(x)=g(x)-lf(x)，試問：是否存在實(shí)數(shù)l，使得j(x)在(-¥，-1)上是減函數(shù)，并且在(-1，-)上是增函數(shù)．

 

答案：
解析：

（1）因?yàn)?i>f(x)=x2+x+c，且f[f(x)]=f(x2+x+1)

所以(x2+x+c)2+x2+x+c+c=(x2+x+1)2+x2+x+1+1，

(2c-2)x2+(2c-2)x+c2+c-2=0  故c=1，

所以g(x)=f[f(x)]=x4+2x3+4x2+3x+3．

（2）假設(shè)存在實(shí)數(shù)l，使得j (x)在(-¥，-1)上是減函數(shù)，并且在(-1，)上是增函數(shù)．

∵ j(x)=g(x)-lf(x)=x4+2x3+4x2+3x+3+l(x2+x+1)=x4+2x3+(4-l)x2+(3-l)x+(3-l)

∴ j¢(x)=4x3+6x2+2(4-l)x+(3-l)

由j(x)在(-¥，-1)上是減函數(shù)，并且在(-1，)上是增函數(shù)可得j¢(-1)=0

所以-4+6-8+2l+3-l=0，解得l=3．

∴ j¢(x)=4x3+6x2+2x=2x(2x+1)(x+1)

∴ 當(dāng)xÎ(-¥，-1)時(shí)，j¢(x)=4x3+6x2+<span lang=EN-US>2x=2x(2x+1)(x+1)<0，

此時(shí)j(x)在(-¥，-1)上是減函數(shù)；當(dāng)xÎ(-1，)時(shí)，j¢(x)=4x3+6x2+2x=2x(2x+1)×(x+1)>0，此時(shí)j(x)在(-1，)上是增函數(shù)．

存在實(shí)數(shù)l=3，使得j(x)在(-¥，-1)上是減函數(shù)，并且在(-1，)上是增函數(shù)．

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=x2-(a+
1
a
)x+1
（Ⅰ）當(dāng)a=
1
2
時(shí)，解不等式f（x）≤0；
（Ⅱ）若a＞0，解關(guān)于x的不等式f（x）≤0．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
x2(x＞0)
e(x=0)
0(x＜0)
，則f{f[f（-2）]}=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=
x2，x＞0
f(x+1)，x≤0
則f(2)+f(-1)=（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若函數(shù)f（x）對定義域中任意x，均滿足f（x）+f（2a-x）=2b，則稱函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（a，b）對稱；
（1）已知f(x)=
x2-mx+1x
的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對稱，求實(shí)數(shù)m的值；
（2）已知函數(shù)g（x）在（-∞，0）∪（0，+∞）上的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，1）對稱，且當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，g（x）=-2x-n（x-1），求函數(shù)g（x）在x∈（-∞，0）上的解析式；
（3）在（1）（2）的條件下，若對實(shí)數(shù)x＜0及t＞0，恒有g(shù)（x）+tf（t）＞0，求正實(shí)數(shù)n的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f(x)=x2，g(x)=(
1
2
)x-m，若對任意x1∈[0，2]，存在x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是
m≥
1
4
m≥
1
4
．

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