Question

【題目】（文科）已知函數.

(1)若，求曲線在點處的切線方程；

(2)若對任意恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ; (2) .

【解析】試題分析：（1）求出函數的導數，計算,根據點斜式可求切線方程；（2）求出函數的導數，通過討論的范圍，求出函數的單調區(qū)間，求出的最大值，結合對任意恒成立，求出的取值范圍即可.

試題解析：(1)由，得，則

又， .

所以曲線在點處的切線方程為，即.

(2)已知對任意恒成立，

令

①當時，

， 在上單調遞減，

，恒成立.

②當時，二次函數的開口方向向下，對稱軸為，且，

所以當時， ， ， 在上單調遞減，

，恒成立.

③當時，二次函數的開口方向向上，對稱軸為，

所以在上單調遞增，且，

故存在唯一，使得，即.

當時， ， ， 單調遞減；

當時， ， ， 單調遞增.

所以在上， .

所以得，

綜上,得取值范圍是.

【方法點晴】本題主要考查利用導數求函數的最值以及不等式恒成立問題，屬于難題．不等式恒成立問題常見方法：① 分離參數恒成立(可)或恒成立（即可）；② 數形結合(圖象在 上方即可)；③ 討論最值或恒成立；④ 討論參數.本題是利用方法 ③ 求得的范圍的.