Question

20．在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是A₁B₁上一點，若平面EBD與平面ABCD所成銳二面角的正切值為$\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，設三棱錐A-A₁D₁E外接球的直徑為a，則$\frac{a}{{|{AB}|}}$=$\frac{{\sqrt{19}}}{3}$．

Answer 1

分析 過E作EF∥AA₁交AB于F，過F作FG⊥BD于G，連接EG，則∠EGF為平面EBD與平面AB-CD所成銳二面角的平面角，設AB=3，求出A₁E=1，可得三棱錐A-A₁D₁E外接球的直徑，即可得出結(jié)論．

解答 解：過E作EF∥AA₁交AB于F，過F作FG⊥BD于G，連接EG，則∠EGF為平面EBD與平面AB-CD所成銳二面角的平面角，∵$tan∠EGF=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，∴$\frac{EF}{FG}=\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$，
設AB=3，則EF=3，∴$FG=\sqrt{2}$，則BF=2=B₁E，
∴A₁E=1，則三棱錐A-A₁D₁E外接球的直徑$a=\sqrt{1+9+9}=\sqrt{19}$，
∴$\frac{a}{AB}=\frac{{\sqrt{19}}}{3}$．
故答案為$\frac{{\sqrt{19}}}{3}$．

點評 本題考查三棱錐A-A₁D₁E外接球的直徑，考查面面角，考查學生的計算能力，屬于中檔題．