Question

已知橢圓（a＞b＞0）右頂點到右焦點的距離為，短軸長為．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過左焦點F的直線與橢圓分別交于A、B兩點，若線段AB的長為，求直線AB的方程．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意，，解得a=，c=1．
∴橢圓方程為------------（4分）
（Ⅱ）當直線AB與x軸垂直時，|AB|=，不符合題意故舍掉；-----------（6分）
當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為：y=k（x+1），
代入消去y得：（2+3k²）x²+6k²x+（3k²-6）=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=，x₁x₂=-----------（8分）
所以|AB|=，------------（11分）
∵線段AB的長為，
∴=
∴k²=2
∴k=，------------（13分）
所以直線AB的方程為：或．---------（14分）
分析：（Ⅰ）由橢圓（a＞b＞0）右頂點到右焦點的距離為，短軸長為，建立方程組，即可求得橢圓方程；
（Ⅱ）當直線AB與x軸垂直時，|AB|=，不符合題意；當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為：y=k（x+1），代入消去y，利用韋達定理計算|AB|，結合線段AB的長為，即可求得k的值，從而可得直線AB的方程．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查弦長的計算，聯(lián)立方程，正確運用韋達定理是關鍵．