Question

【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的值；

（3）求證：．

Answer 1

【答案】（1）時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是，時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是；（2）；（3）證明見(jiàn)解析．

【解析】

試題分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)數(shù)，利用，即可求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即可求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（2）若對(duì)任意的恒成立，對(duì) 恒成立, 即可求實(shí)數(shù)的值；（3）要證原不等式成立，只需證：，即證： ，結(jié)合（2）利用裂項(xiàng)相消法求和，根據(jù)放縮法可證．

試題解析：解：（1），∴時(shí)，，在上單調(diào)遞增：時(shí)，時(shí)，單調(diào)遞減，時(shí)，單調(diào)遞增．

（2）由（1），時(shí)，，∴，即，

記．，∴在上增，在上遞減，∴，故，得．

（3）時(shí)，，時(shí)，，

時(shí)，．

由（2）可知，即，則時(shí)，，故，

即原不等式成立．