Question

已知函數f（x）=e^-x+ax，
（Ⅰ）已知x=-1是函數f（x）的極值點，求實數a的值；
（Ⅱ）若a=1，求函數f（x）的極值；
（ III）求證：函數f（x）的圖象不落在直線y=（a-1）x的下方．

Answer 1

解：（I）由f（x）=e^-x+ax，得：f'（x）=-e^-x+a，
因為x=-1是函數f（x）的極值點，所以f'（-1）=-e+a=0，解得：a=e，
經檢驗 a=e符合條件．
（II） 令f'（x）=-e^-x+1=0，得：x=0，
列表如下，

當x=0時，f（x）極小值為1．
（III）令g（x）=f（x）-（a-1）x=e^-x+x，
令g'（x）=-e^-x+1=0，得x=0，
由（Ⅱ）知，函數g（x）在（-∝，0）上為減函數，在（0，+∝）上為增函數，
所以，函數g（x）在（-∝，+∞）上有最小值g（0）=1．
所以g（x）≥g（0）=1＞0，即f（x）＞（a-1）x．
所以，函數f（x）的圖象不落在直線y=（a-1）x的下方．
分析：（Ⅰ）因為x=-1是函數f（x）的極值點，直接由f^′（1）=0求a的值；
（Ⅱ）代入1后，求函數的導函數，由導函數等于0求x的值，由求得的x值把定義域分段后分析導函數在各段內的符號，從而找出極值點并求出極值；
（Ⅲ）構造輔助函數g（x）=f（x）-（a-1）x，化簡后利用導函數求其極小值，從而得到函數g（x）在定義域內恒大于0，說明函數f（x）的圖象不落在直線y=（a-1）x的下方．
點評：本題考查了函數在某點處取得極值的條件，這里需要注意的是，極值點處的導數為0，但導數為0的點不一定是極值點，考查了利用構造函數法判斷兩函數圖象的高低問題，構造函數是解決此類問題經常用到的方法，此題是中檔題．