Question

已知函數f（x）=（ax²+bx+c）e^x在x=1處取極值，且在點（0，f（0））處的切線方程為4x-y+5=0
（1）求a，b，c的值
（2）求函數f（x）的單調區(qū)間，并指出f（x）在x=1處取值是極大值還是極小值．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的極值,利用導數研究函數的單調性

專題：函數的性質及應用,導數的概念及應用

分析：（1）利用極值點處導數為0，求切點處的導數為切線的斜率，切點為公共點列出關于a，b，c的方程組．
（2）求導數，然后令導數為0，然后列表求極值．

解答： 解：（1）由已知得f′（x）=e^x[ax²+（2a+b）x+b+c]．
因為x=1是極值點，所以f′（1）=0，即3a+2b+c=0①，
將（0，f（0））代入4x-y+5=0得f（0）=5，且切線的斜率為f′（0）=4．
所以c=5②，b+c=4③．
聯立①②③解得a=-1，b=-1，c=5．
（2）由已知得f′（x）=e^x（-x²-3x+4）．
令f′（x）＞0得x²+3x-4＜0，解得-4＜x＜1；
由f′（x）＜0得x²+3x-4＞0，解得x＜-4或x＞1．
故原函數的單調增區(qū)間為（-4，1），單調減區(qū)間為（-∞，-4），（1，+∞）．
所以x=1處取得極大值．

點評：本題考查的是利用導數求切線的方法以及利用導數研究單調區(qū)間的方法．要準確理解切點滿足的性質；在寫單調區(qū)間時，相同單調性的區(qū)間中間要用“，”或“和”分開．