Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以O(shè)為圓心且面積最小的圓與直線l：y=mx+（3-4m）（m∈R）恒有公共點(diǎn)T．
（1）求出T點(diǎn)的坐標(biāo)及圓O的方程；
（2）圓O與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，圓內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P使、、成等比數(shù)列，求的范圍；
（3）設(shè)點(diǎn)T關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為Q，直線l與圓O交于M、N兩點(diǎn)，試求的最大值，并求出S取最大值時(shí)的直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由y=mx+（3-4m）過定點(diǎn)T（4，3）可知，要使圓O的面積最小，半徑最小，從而可得定點(diǎn)T（4，3）在圓上，可求圓O的方程
（2）可先設(shè)P（x，y），則科的…（1）由題意可得，，利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示可得：，聯(lián)立可求y的范圍，代入可求求的范圍
（3）直線l與圓O的一個(gè)交點(diǎn)為M（4，3），定點(diǎn)Q（-4，3），由向量的數(shù)量積的定義可得，=2S_△MQN，從，要使S最大，則只要S_△MNQ最大，即N到MQ的距離最大即可
解答：解：（1）因?yàn)橹本�l：y=mx+（3-4m）過定點(diǎn)T（4，3）…（2分）
由題意，要使圓O的面積最小，定點(diǎn)T（4，3）在圓上，
所以圓O的方程為x²+y²=25；…（5分）
（2）A（-5，0），B（5，0），設(shè)P（x，y），則…（1）
∵，，
由成等比數(shù)列得，，
即，
整理得：，
即…（2）
由（1）（2）得：，
，
當(dāng)y=0時(shí)有最小值，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為0
∴．（10分）
（3）
=，…（11分）
由題意，得直線l與圓O的一個(gè)交點(diǎn)為M（4，3），又知定點(diǎn)Q（-4，3），
直線l_MQ：y=3，
∴|MQ|=8，則當(dāng)N（0，-5）時(shí)S_△MQN有最大值32．…（14分）
即有最大值為64，
此時(shí)直線l的方程為2x-y-5=0．…（16分）
點(diǎn)評：本題主要考查了直線方程的點(diǎn)斜式在判斷直線恒過定點(diǎn)中的應(yīng)用，直線與圓相交關(guān)系的應(yīng)用及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示等知識的綜合應(yīng)用