Question

19．如圖，三棱錐P-ABC中，BC⊥平面PAB，PA=PB=AB=6，BC=9，點M，N分別為PB，BC的中點．
（1）求證：AM⊥平面PBC；
（2）E是線段AC上的點，且AM∥平面PNE．
①確定點E的位置；②求直線PE與平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）推導(dǎo)出AM⊥PB，AM⊥BC，由此能證明AM⊥平面PBC．
（2）①連結(jié)MC，交PN于F，則F是△PBC的重心，由此能求出E為靠近A的AC的一個三等分點．
②作EH⊥AB于H，則EH∥BC，∠EPH是直線PE與平面PAB所成的角，由此能求出直線PE與平面PAB所成角的正弦值．

解答 證明：（1）∵$PA\$=AB，M為PB中點，∴AM⊥PB，
∵BC⊥平面PAB，AM?平面PAB，∴AM⊥BC，
∵PB∩BC=B，∴AM⊥平面PBC．
解：（2）①連結(jié)MC，交PN于F，則F是△PBC的重心，且MF=$\frac{1}{3}$MC，
∵AM∥平面PNC，AM?平面AMC，平面AMC∩平面PEN=EF，
∴AM∥EF，AE=$\frac{1}{3}$AC=2$\sqrt{2}$，即E為靠近A的AC的一個三等分點．
②作EH⊥AB于H，則EH∥BC，
∴EH⊥平面PAB，
∴∠EPH是直線PE與平面PAB所成的角，
且HE=$\frac{1}{3}$BC=3，HA=$\frac{1}{3}$BA=2，
∴PH=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}-2×6×2×cos\frac{π}{3}}$=2$\sqrt{7}$，PE=$\sqrt{28+9}=\sqrt{37}$，
∴sin$∠EPH=\frac{HE}{PE}$=$\frac{3\sqrt{37}}{37}$，
∴直線PE與平面PAB所成角的正弦值是$\frac{3\sqrt{37}}{37}$．

點評 本題考查線面垂直的證明，考查點的位置的判斷，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．