Question

14．已知拋物線：y²=2px（p＞0）的焦點為F，點A（m，2）（m＞1）是拋物線上一點，且滿足|AF|=$\frac{5}{2}$．
（1）求拋物線的方程；（2）已知M（-2，0），N（2，0），過N的直線與拋物線交于C，D兩點，若S_△MCD=16，求直線CD的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意，m+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{2}$，4=2pm，可得p=1，m=2，即可得出拋物線的方程；
（2）設直線CD的方程為x=my+2，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），與拋物線方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系，再利用弦長公式即可得出．

解答 解：（1）由題意，m+$\frac{p}{2}$=$\frac{5}{2}$，4=2pm，可得p=1，m=2，
∴拋物線的方程為y²=2x；
（2）設直線CD的方程為x=my+2，代入y²=2x，可得y²-2my-4=0，
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），則y₁+y₂=2m，y₁y₂=-4．
∴S_△MCD=$\frac{1}{2}×4×$|y₁-y₂|=2$\sqrt{4{m}^{2}+16}$=16，
∴m=±2$\sqrt{3}$，
∴直線CD的方程為x=$±2\sqrt{3}$y+2．

點評 本題考查了拋物線的方程與性質、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、弦長公式、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．