Question

四棱錐的底面是正方形，側棱與底面所成的角都等于60°，它的所有頂點都在直徑為2的球面上，則該四棱錐的體積為（　　）

• A、

  6

  4

• B、

  3

  4

• C、

  2 3

  4

• D、

  2 2

  4

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：設正方形ABCD的邊長為a，由題意得BD=AC=PA=PB=PC=PD=

2

a，設O為球心，由題意知OP=OB=1，BE=

2

2

a，PE=

6

2

a，由勾股定理求出a=

6

2

，由此能求出該四棱錐的體積．

解答： 解：如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，
側棱與底面所成的角都等于60°，
設正方形ABCD的邊長為a，
則BD=AC=PA=PB=PC=PD=

2

a，
設O為球心，由題意知OP=OB=1，BE=

2

2

a，
PE=

2a2-( 2 2 a)2

=

6

2

a，
∴（

2

2

a）²+（

6

2

a-1）²=1，解得a=

6

2

，
∴PE=

6

2

×

6

2

=

3

2

，
∴該四棱錐的體積V=

1

3

×S正方形ABCD×PE=

1

3

×(

6

2

)2×

3

2

=

3

4

．
故選：B．

點評：本題考查四棱錐的體積的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)，是中檔題．