Question

【題目】已知中心在原點(diǎn)的橢圓的兩焦點(diǎn)分別為雙曲線的頂點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，且，點(diǎn)是橢圓上異于、的任意一點(diǎn)，直線外的點(diǎn)滿足， ．　

（1）求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）試確定點(diǎn)的坐標(biāo)，使得的面積最大，并求出最大面積．

Answer 1

【答案】（1）點(diǎn)的軌跡是橢圓除去四個(gè)點(diǎn)， ， ， ，其方程為（， ）；（2），點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

【解析】試題分析：（1）由已知雙曲線的頂點(diǎn)可得橢圓焦點(diǎn)，再由橢圓過(guò)定點(diǎn)可解得參數(shù)的值，得到橢圓方程；由已知條件設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，再由已知向量積為零可得兩坐標(biāo)值的關(guān)系，再由點(diǎn)在橢圓上，分析可得點(diǎn)的軌跡方程；

（3）由點(diǎn)到直線距離可得三角形面積表達(dá)式，由均值不等式可得面積最大值及此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)。

試題解析：

（1）由的焦點(diǎn)為的頂點(diǎn)，得的焦點(diǎn) ， ．

令的方程為，因?yàn)?/span>在上，所以．

于是由解得， ，所以的方程為．

由直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，知、關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以．

令點(diǎn)， ，則， ，

， ．

于是由， ，得

即

兩式相乘得．

又因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，即，

代入中，得 ．

當(dāng)時(shí)，得；

當(dāng)時(shí)，則點(diǎn)或，此時(shí)或，也滿足方程．

若點(diǎn)與點(diǎn)重合，即時(shí)，由解得或．

若點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，同理可得或．

綜上，點(diǎn)的軌跡是橢圓除去四個(gè)點(diǎn)， ， ， ，其方程為（， ）．

（2）因?yàn)辄c(diǎn)到直線 的距離， ，

所以的面積

.

當(dāng)且僅當(dāng)，即或 ，

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或．