Question

8．設(shè)S_n，T_n分別是數(shù)列{a_n}，{b_n}的前n項(xiàng)和，已知對(duì)于任意n∈N^*，都有3a_n=2S_n+3，數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且T₅=25，b₁₀=19．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)c_n=$\frac{{a}_{n}_{n}}{n（n+1）}$，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和R_n，并求R_n的最小值．

Answer 1

分析 （I）利用數(shù)列遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得a_n．利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式即可得出b_n．
（II）利用裂項(xiàng)求和方法、數(shù)列的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由3a_n=2S_n+3，當(dāng)n=1時(shí)，3a₁=2a₁+3，解得a₁=3；
當(dāng)n≥2時(shí)，3a_n-1=2S_n-1+3，
從而3a_n-3a_n-1=2a_n，即a_n=3a_n-1，∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，公比為3，
因此a_n=3ⁿ．
設(shè)數(shù)列{b_n}的公差為d，∵T₅=25，b₁₀=19．
∴$\left\{\begin{array}{l}{5_{1}+10d=25}\\{_{1}+9d=19}\end{array}\right.$，解得b₁=1，d=2，
因此b_n=2n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：c_n=$\frac{{a}_{n}_{n}}{n（n+1）}$=$\frac{（2n-1）•{3}^{n}}{n（n+1）}$=$\frac{[3n-（n+1）]•{3}^{n}}{n（n+1）}$=$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$-$\frac{{3}^{n}}{n}$，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和R_n=$（-\frac{3}{1}+\frac{{3}^{2}}{2}）$+$（-\frac{{3}^{2}}{2}+\frac{{3}^{3}}{3}）$+…+$（-\frac{{3}^{n}}{n}+\frac{{3}^{n+1}}{n+1}）$
=$\frac{{3}^{n+1}}{n+1}$-3．
因?yàn)閏_n＞0，所以數(shù)列{R_n}單調(diào)遞增．
所以n=1時(shí)，R_n取最小值時(shí)，故最小值為$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、裂項(xiàng)求和方法、數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．