Question

【題目】已知橢圓E：（）的離心率為，F是E的右焦點，過點F的直線交E于點和點（）.當直線與x軸垂直時，.

（1）求橢圓E的方程；

（2）設直線l：交x軸于點G，過點B作x軸的平行線交直線l于點C.求證：直線過線段的中點.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）通過離心率推出，結合．轉化求解，，求解橢圓的方程．

（2）求出，，得到線段的中點為．①當直線與軸垂直時，說明直線過線段的中點．②當直線不與軸垂直時，可設其方程為，代入，利用韋達定理設，，，，，求出的方程為．推出直線系方程，說明直線過線段的中點．

（1）由，得，所以，

因為直線經過點F，且，所以根據對稱性，不妨設.

當直線與x軸垂直時，，

，所以.

由，得，所以，.

所以橢圓E的方程為.

（2）當直線與x軸垂直時，，，，

這時直線的方程為，即.

令，得，點恰為線段的中點.

因為，當直線不與x軸垂直時，可設其方程為，

代入，

整理得.

所以，.

因為，，，

所以直線的方程為.

因為，，

所以

，

這說明直線過點.

綜上可知直線過線段的中點.