Question

設函數(shù)
（1）求證：不論a為何實數(shù)，f（x）是增函數(shù)
（2）確定a的值，使f（x）是奇函數(shù)
（3）當f（x）為奇函數(shù)時，求關于t的不等式f（2t-1）+f（t-2）＜0的解集．

Answer 1

解：（1）證明：?x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）===，
∵x₁＜x₂，∴，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）．
因此不論a為何實數(shù)，f（x）是增函數(shù)；
（2）由f（0）=0，解得，
可以驗證：當時，f（x）是奇函數(shù)；
（3）由（2）可知：．
∴，
∵不等式f（2t-1）+f（t-2）＜0，
∴f（2t-1）＜-f（t-2）=f（2-t），
由（1）可知：函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增，
∴2t-1＜2-t，
解得t＜1．
∴關于t的不等式f（2t-1）+f（t-2）＜0的解集是（-∞，1）．
分析：（1）利用函數(shù)的單調(diào)性定義即可證明；
（2）利用奇函數(shù)的定義即可證明；
（3）利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性即可求出．
點評：熟練掌握函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性是解題的關鍵．