Question

在長32cm，寬20cm的矩形薄鐵板的四角分別剪去一個相等的正方形，做成一個無蓋的盒子．問剪去的正方形邊長為多少時，盒子的容積最大，并求出最大容積．

Answer 1

解：設截去四個相相同的小正方形的邊長為x，則盒子的容積
為：V（x）=x（32-2x）（20-2x）=4x（16-x）（10-x）
V（x）=4（x³-26x²+160x）
∴V′（x）=4（3x²-52x+160）
令V′（x）=0即：3x²-52x+160=0
解得x=4或x=
∵0＜x＜10
∴x=舍去，
當x∈（0，4）時函數(shù)為增函數(shù)，當x∈（4，10）函數(shù)為減函數(shù)
∴當x=4時盒子的容積最大，最大容積為1152cm²．
分析：首先設出未知數(shù)：小正方形的邊長為x，可得盒子的容積為：V（x）=x（32-2x）（20-2x），然后利用導數(shù)工具研究它的單調(diào)性，得出當x∈（0，4）時函數(shù)為增函數(shù)，當x∈（4，10）函數(shù)為減函數(shù)．因此可得，當x=4時盒子的容積最大，最大容積為1152cm²．
點評：本題著重考查了函數(shù)模型的選擇與應用，屬于中檔題．利用導數(shù)工具研究函數(shù)的單調(diào)性，從而得出函數(shù)的最大值，是解決本題的關鍵所在．