Question

2．已知函數f（x）=x-1+$\frac{a}{{e}^{x}}$（x∈R，e為自然對數的底數）．
（1）求函數f（x）的極值；
（2）當a=1時，若直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導數，討論當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）無極值；當a＞0時，由f′（x）=0，得e^x=a，x=lna，求得單調區(qū)間，可得f（x）在x=lna處取到極小值，且極小值為f（lna）=lna，無極大值；
（2）令g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，則直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點?方程g（x）=0在R上沒有實數解，分k＞1與k≤1討論即可得答案．

解答 解：（1）由f（x）=x-1+$\frac{a}{{e}^{x}}$，可得導數f′（x）=1-$\frac{a}{{e}^{x}}$，
①當a≤0時，f′（x）＞0，
f（x）為（-∞，+∞）上的增函數，則f（x）無極值；
②當a＞0時，由f′（x）=0，得e^x=a，即x=lna，
x∈（-∞，lna），f′（x）＜0，x∈（lna，+∞），f′（x）＞0，
即有f（x）在∈（-∞，lna）上單調遞減，在（lna，+∞）上單調遞增，
故f（x）在x=lna處取到極小值，且極小值為f（lna）=lna，無極大值．
綜上，當a≤0時，f（x）無極值；
當a＞0時，f（x）在x=lna處取到極小值lna，無極大值；
（2）當a=1時，f（x）=x-1+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
令g（x）=f（x）-（kx-1）=（1-k）x+$\frac{1}{{e}^{x}}$，
則直線l：y=kx-1與曲線y=f（x）沒有公共點，
等價于方程g（x）=0在R上沒有實數解．
假設k＞1，此時g（0）=1＞0，g（$\frac{1}{k-1}$）=-1+$\frac{1}{{e}^{\frac{1}{k-1}}}$＜0，
又函數g（x）的圖象連續(xù)不斷，由零點存在定理可知g（x）=0在R上至少有一解，
與“方程g（x）=0在R上沒有實數解”矛盾，故k≤1．
又k=1時，g（x）=$\frac{1}{{e}^{x}}$＞0，知方程g（x）=0在R上沒有實數解，
所以k的最大值為1．

點評 本題考查利用導數研究函數的極值，考查函數方程的轉化思想，注意運用零點存在定理，突出分類討論思想的運用，屬于中檔題．