Question

3．設(shè)$\overrightarrow a$是已知的平面向量且$\overrightarrow a$≠$\overrightarrow{0}$，關(guān)于向量$\overrightarrow a$的分解，有如下四個(gè)命題：
①給定向量$\overrightarrow b$，總存在向量$\overrightarrow c$，使$\overrightarrow a$=$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$；
②給定向量$\overrightarrow b$和$\overrightarrow c$，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使$\overrightarrow a$=λ$\overrightarrow b$+μ$\overrightarrow c$；
③給定單位向量$\overrightarrow b$和正數(shù)μ，總存在單位向量$\overrightarrow c$和實(shí)數(shù)λ，使$\overrightarrow a$=λ$\overrightarrow b$+μ$\overrightarrow c$；
④給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量$\overrightarrow$和單位向量$\overrightarrow c$，使$\overrightarrow a$=λ$\overrightarrow b$+μ$\overrightarrow c$；
上述命題中的向量$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$和$\overrightarrow a$在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，則真命題的個(gè)數(shù)是2．

Answer 1

分析 ①由向量加減的幾何意義可得；
②③均可由平面向量基本定理判斷其正確性；
④λ和μ為正數(shù)，這就使得向量$\overrightarrow{a}$不一定能用兩個(gè)單位向量的組合表示出來．

解答 解：∵向量$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$和$\overrightarrow{a}$在同一平面內(nèi)且兩兩不共線，∴$\overrightarrow b$≠$\overrightarrow{0}$，$\overrightarrow c$≠$\overrightarrow{0}$，
①，給定向量$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow$，只需求得其向量差$\overrightarrow{a}-\overrightarrow$即為所求的向量$\overrightarrow{c}$，
故總存在向量$\overrightarrow c$，使$\overrightarrow a=\overrightarrow b+\overrightarrow c$，故①正確；
②，當(dāng)向量$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$和$\overrightarrow a$在同一平面內(nèi)且兩兩不共線時(shí)，向量$\overrightarrow$，$\overrightarrow{c}$可作基底，
由平面向量基本定理可知結(jié)論成立，故可知②正確；
③，取$\overrightarrow{a}$=（4，4），μ=2，$\overrightarrow$=（1，0），
無論λ取何值，向量λ$\overrightarrow$都平行于x軸，而向量μ$\overrightarrow{c}$的模恒等于2，
要使$\overrightarrow{a}=λ\overrightarrow+μ\overrightarrow{c}$成立，根據(jù)平行四邊形法則，向量μ$\overrightarrow{c}$的縱坐標(biāo)一定為4，
故找不到這樣的單位向量$\overrightarrow{c}$使等式成立，故③錯(cuò)誤；
④，因?yàn)棣撕挺虨檎龜?shù)，所以$λ\overrightarrow$和$μ\overrightarrow{c}$代表與原向量同向的且有固定長度的向量，
這就使得向量$\overrightarrow{a}$不一定能用兩個(gè)單位向量的組合表示出來，
故不一定能使$\overrightarrow a=λ\overrightarrow b+μ\overrightarrow c$成立，故④錯(cuò)誤．
故答案為：2

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，此類題型往往綜合較多的其它知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度中檔．