(1)已知a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=9,ax+by+cz≤t,求t 的最小值.
(2)求直線(t為參數(shù))被雙曲線x2-y2=1截得的弦長.
【答案】分析:(1)利用題中條件構造柯西不等式(ax+by+cz)2≤( a2+b2+c2)( x2+y2+z2)這個條件進行計算即可.
(2)將直線的參數(shù)方程變形后代入x2-y2=1,得關于參數(shù)的一元二次方程,結合根與系數(shù)的關系及參數(shù)的幾何意義即可求出被雙曲線x2-y2=1截得的弦長.
解答:解:(1)柯西不等式得:u2=(ax+by+cz)2≤( a2+b2+c2)( x2+y2+z2)=1×9=9.u=ax+by+cz≤3,
故u=ax+by+cz的最大值為3,從而t的最小值為3  …(7分)
(2)(t′=2t為參數(shù)),
代入x2-y2=1,得:=1,
整理得:t'2-4t′-6=0,設其二根為 t1',t2',則 t1'+t2'=4,t1'•t2'=-6,從而弦長為
|AB|=|t1'-t2'|=…(7分)
點評:本小題主要考查柯西不等式在函數(shù)極值中的應用、直線的參數(shù)方程、直線與圓錐曲線的關系等基礎知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想.屬于基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知a2+b2+c2=1,若a+b+
2
c≤|x+1|
對任意實數(shù)a,b,c恒成立,求實數(shù)x的取值范圍.

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已知a2+b2=2,若a+b≤|x+1|-|x-2|對任意實數(shù)a、b恒成立,則x的取值范圍是
[
3
2
,+∞
[
3
2
,+∞

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(1)已知a2+b2+c2=1,x2+y2+z2=9,ax+by+cz≤t,求t 的最小值.
(2)求直線
x=2+t
y=
3
t
(t為參數(shù))被雙曲線x2-y2=1截得的弦長.

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