【答案】
分析:(1)利用題中條件構造柯西不等式(ax+by+cz)
2≤( a
2+b
2+c
2)( x
2+y
2+z
2)這個條件進行計算即可.
(2)將直線的參數(shù)方程變形后代入x
2-y
2=1,得關于參數(shù)的一元二次方程,結合根與系數(shù)的關系及參數(shù)的幾何意義即可求出被雙曲線x
2-y
2=1截得的弦長.
解答:解:(1)柯西不等式得:u
2=(ax+by+cz)
2≤( a
2+b
2+c
2)( x
2+y
2+z
2)=1×9=9.u=ax+by+cz≤3,
故u=ax+by+cz的最大值為3,從而t的最小值為3 …(7分)
(2)
(t′=2t為參數(shù)),
代入x
2-y
2=1,得:
=1,
整理得:t'
2-4t′-6=0,設其二根為 t
1',t
2',則 t
1'+t
2'=4,t
1'•t
2'=-6,從而弦長為
|AB|=|t
1'-t
2'|=
…(7分)
點評:本小題主要考查柯西不等式在函數(shù)極值中的應用、直線的參數(shù)方程、直線與圓錐曲線的關系等基礎知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結合思想、化歸與轉化思想.屬于基礎題.