Question

（2013•虹口區(qū)二模）在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，向量

m

=

2sinB，2cosB

，

n

=

3 cosB，-cosB

，且

m

•

n

=1．
（1）求角B；
（2）若b=2，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)量積的運(yùn)算法則、倍角公式、兩角和差的正弦余弦公式及三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．
（2）利用余弦定理和基本不等式即可得出ac≤4，再利用三角形的面積計(jì)算公式即可得出．

解答：解：（1）∵

m

•

n

=1，∴2sinB•

3

cosB-2cos2B=1，
∴

3

sin2B-cos2B=2，sin(2B-

π

6

)=1，
又0＜B＜π，∴-

π

6

＜2B-

π

6

＜

11π

6

，
∴2B-

π

6

=

π

2

，∴B=

π

3

．
（2）∵b=2，b²=a²+c²-2ac•cosB，
∴4=a2+c2-2ac•cos

π

3

，即4=a²+c²-ac，
∴4=a²+c²-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立．
∴S△=

1

2

ac•sinB=

3

4

ac≤

3

，當(dāng)a=b=c=2時(shí)，(S△ABC)max=

3

．

點(diǎn)評：熟練掌握數(shù)量積的運(yùn)算法則、倍角公式、兩角和差的正弦余弦公式及三角函數(shù)的單調(diào)性、余弦定理和基本不等式、三角形的面積計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．