Question

（本題滿分12分）

如圖，四棱錐P-ABCD的側(cè)面PAD垂直于底面ABCD，∠ADC=∠BCD=,PA=PD=AD=2BC=2，CD,M在棱PC上，N是AD的中點，二面角M-BN-C為.

（1）求的值；

（2）求直線與平面BMN所成角的正弦值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）＝3；（Ⅱ）-。

【解析】本試題主要是考查了立體幾何中線面角的求解以及線段的比例關(guān)系的綜合運(yùn)用。

（1）作ME∥CD，ME∩PD＝E．

∵∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝2BC＝2，N是AD的中點，∴BN⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，   ∴BN⊥平面PAD，  ∴BN⊥NE，

則∠DNE為二面角M-BN-C的平面角，        

∠DNE＝30°

（2）連結(jié)BE，由（Ⅰ）的解答可知PE⊥平面BMN，

則∠PBE為直線PB與平面BMN所成的角．連結(jié)PN，

則PN⊥平面ABCD，從而PN⊥BN，

從而得到線面角的值。

（Ⅰ）作ME∥CD，ME∩PD＝E．

∵∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝2BC＝2，N是AD的中點，∴BN⊥AD，

又平面PAD⊥平面ABCD，   ∴BN⊥平面PAD，  ∴BN⊥NE，

則∠DNE為二面角M-BN-C的平面角，        

∠DNE＝30°．……………3分

∵PA＝PD＝AD，∴∠PDN＝60°，∴∠DEN＝90°，∴DE＝DP，

∴CM＝CP，故＝3----------------6分

（Ⅱ）連結(jié)BE，由（Ⅰ）的解答可知PE⊥平面BMN，

則∠PBE為直線PB與平面BMN所成的角．連結(jié)PN，

則PN⊥平面ABCD，從而PN⊥BN，

∴PB＝＝＝，-------------- 9分

又PE＝PD＝，∴sin∠PBE＝＝．

所以直線PB與平面MBN所成的角為-   -----------12分