Question

設(shè)為關(guān)于n的k次多項(xiàng)式．?dāng)?shù)列{an}的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為．對(duì)于任意的正整數(shù)n，都成立．

（1）若，求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；

（2）試確定所有的自然數(shù)k，使得數(shù)列{an}能成等差數(shù)列

 

Answer 1

【答案】

（1）若，則即為常數(shù)，不妨設(shè)（c為常數(shù)）．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052503302704683458/SYS201205250333200156691678_DA.files/image005.png">恒成立，所以，即．

而且當(dāng)時(shí)，，   ①

  ， ②

①－②得 ．

若an=0，則，…，a1=0，與已知矛盾，所以．

故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為的等比數(shù)列．  ……………………………………4分

【解】（2）(i) 若k=0，由（1）知，不符題意，舍去．

(ii) 若k=1，設(shè)（b，c為常數(shù)），

當(dāng)時(shí)，，           ③

  ，     ④

③－④得 ．……………………………………………7分

要使數(shù)列{an}是公差為d（d為常數(shù)）的等差數(shù)列，必須有（常數(shù)），

而a1=1，故{an}只能是常數(shù)數(shù)列，通項(xiàng)公式為an =1，

故當(dāng)k=1時(shí)，數(shù)列{an}能成等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為an =1，此時(shí)．…9分

(iii) 若k=2，設(shè)（，a，b，c是常數(shù)），

當(dāng)時(shí)，，           ⑤

， ⑥

⑤－⑥得 ， ……………………………12分

要使數(shù)列{an}是公差為d（d為常數(shù)）的等差數(shù)列，必須有

，且d=2a，

考慮到a1=1，所以．

故當(dāng)k=2時(shí)，數(shù)列{an}能成等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，

此時(shí)（a為非零常數(shù)）．……………………………14分

(iv) 當(dāng)時(shí)，若數(shù)列{an}能成等差數(shù)列，則的表達(dá)式中n的最高次數(shù)為2，

故數(shù)列{an}不能成等差數(shù)列．

綜上得，當(dāng)且僅當(dāng)k=1或2時(shí)，數(shù)列{an}能成等差數(shù)列．

【解析】略