Question

在數(shù)列{a_n}中，a₁=1，3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）
（Ⅰ）證明：{

1

an

}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項；
（Ⅲ）若λan+

1

an+1

≥λ對任意n≥2的整數(shù)恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）將已知條件整理得：

1

an

-

1

an-1

=3(n≥2)，由此求得{

1

an

}是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

1

an

=1+3(n-1)=3n-2，由此求得數(shù)列{a_n}的通項．
（Ⅲ）由條件可得λ≤

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

，利用數(shù)列的單調(diào)性可得{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以c₂最小，c2=

28

3

，
由此求得λ的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）將3a_na_n-1+a_n-a_n-1=0（n≥2）整理得：

1

an

-

1

an-1

=3(n≥2)，
所以{

1

an

}是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：

1

an

=1+3(n-1)=3n-2，所以an=

1

3n-2

．
（Ⅲ）若λan+

1

an+1

≥λ恒成立，即

λ

3n-2

+3n+1≥λ恒成立，整理得：λ≤

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

．   
令cn=

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

，
則可得 cn+1-cn=

(3n+4)(3n+1)

3n

-

(3n+1)(3n-2)

3(n-1)

=

(3n+1)(3n-4)

3n(n-1)

．
因為n≥2，所以

(3n+1)(3n-4)

3n(n-1)

＞0，即{c_n}為單調(diào)遞增數(shù)列，所以c₂最小，c2=

28

3

，
所以λ的取值范圍為(-∞，

28

3

]．

點評：本題主要考查等差關(guān)系的確定，數(shù)列的遞推式的應用，數(shù)列與不等式的綜合，屬于難題．