Question

一個圓環(huán)直徑為2MD∥APm，通過鐵絲BC、CA₁、CA₂、CA₃（A₁、A₂、A₃是圓上三等分點）懸掛在B處，圓環(huán)呈水平狀態(tài)并距天花板2m，如圖所示．
（1）設(shè)BC長為x（m），鐵絲總長為y，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域；
（2）當(dāng)x取多長時，鐵絲總長y有最小值，并求此最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）本題結(jié)構(gòu)圖可看成圓錐，CA₁，CA₂，CA₃為該三棱錐的三條側(cè)棱，圓錐的高為2-x，利用圓錐的性質(zhì)可得到側(cè)棱即母線的長，進而能得到y(tǒng)與x的關(guān)系，需要注意實際問題中自變量x的取值范圍．
（2）在（1）中結(jié)論的基礎(chǔ)上求函數(shù)的最值可利用導(dǎo)數(shù)來解決，另外還是要注意實際問題，極值點是否在定義域內(nèi)取到，從而得到最值．
解答：解：（1）由題意C，A₁，A₂，A₃四點構(gòu)成一個正三棱錐，CA₁，CA₂，CA₃為該三棱錐的三條側(cè)棱，…（2分）
三棱錐的側(cè)棱，…（4分）
于是有（0＜x＜2）…（6分）
（2）對y求導(dǎo)得．…（8分）
令y′=0得9（2-x）²=（2-x）²+2，解得或（舍），…（10分）
當(dāng)
故當(dāng)時，即BC=1.5m時，y取得最小值為6m．…（14分）
點評：本題是一道函數(shù)應(yīng)用問題，要注意問題中的自變量x，即定義域的作用，本題考查了圓錐這一簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征，綜合考查了函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值問題．