Question

若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P，Q滿(mǎn)足條件：①都P，Q在函數(shù)y=f（x）的圖象上；②P，Q關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則稱(chēng)（P，Q）是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”（點(diǎn)組（P，Q）與（Q，P）看作同一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”）．已知函數(shù)f（x）=

k(x+1)，  x＜0 x2+1，  x≥0

有兩個(gè)“伙伴點(diǎn)組”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：分段函數(shù)的應(yīng)用

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：根據(jù)“伙伴點(diǎn)組”的定義可知，只需要利用圖象，作出函數(shù)f（x）=x²+1，x≥0時(shí)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖象，利用對(duì)稱(chēng)圖象在x＜0上兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，建立條件關(guān)系即可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：由題意知函數(shù)f（x）=x²+1，x≥0關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圖象為-y=x²+1，
即y=-x²-1，x＜0，
在0＜x＜2上作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖，
當(dāng)直線(xiàn)y=k（x+1）與y=-x²-1，x＜0相切時(shí)，此時(shí)兩個(gè)圖象有一個(gè)公共點(diǎn)，
即k（x+1）=-x²-1，即x²+kx+k+1=0，
則判別式△=k²-4（k+1）=k²-4k-4=0，
解得k=

4+ 16+16

2

=

4+4 2

2

=2+2

2

或k=2-2

2

＜0，（舍去），
若函數(shù)f（x）=

k(x+1)，  x＜0 x2+1，  x≥0

有兩個(gè)“伙伴點(diǎn)組”，
則k＞2+2

2

，
故答案為：k＞2+2

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查新定義題目，讀懂題意，利用一元二次方程與判別式△之間的關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合的思想是解決本題的關(guān)鍵．