Question

13．已知α，β均為銳角，且sinα=$\frac{{\sqrt{26}}}{26}$，tanβ=$\frac{2}{3}$．
（1）求α+β的值；
（2）求cos（α+2β）的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求cosα，tanα的值，利用兩角和的正切函數(shù)公式可求tan（α+β）的值，結(jié)合范圍α+β∈（0，π），即可得解α+β的值；
（2）由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求sinβ，cosβ的值，由（1）可知α+2β=$\frac{π}{4}+β$，利用兩角和的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．

解答 解：（1）因?yàn)棣翞殇J角，且$sinα=\frac{{\sqrt{26}}}{26}$，
所以$cosα=\frac{{5\sqrt{26}}}{26}$，$tanα=\frac{1}{5}$，
因?yàn)?tan（α+β）=\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}=\frac{{\frac{1}{5}+\frac{2}{3}}}{{1-\frac{1}{5}×\frac{2}{3}}}=1$， 又因?yàn)棣?β∈（0，π）， 所以$α+β=\frac{π}{4}$． （2）因?yàn)棣聻殇J角，且$tanβ=\frac{2}{3}$， 所以$sinβ=\frac{{2\sqrt{13}}}{13}$，$cosβ=\frac{{3\sqrt{13}}}{13}$， 所以$cos（α+2β）=cos（β+\frac{π}{4}）=cosβcos\frac{π}{4}-sinβsin\frac{π}{4}=\frac{{3\sqrt{13}}}{13}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}-\frac{{2\sqrt{13}}}{13}×\frac{{\sqrt{2}}}{2}=\frac{{\sqrt{26}}}{26}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的正切函數(shù)公式，兩角和的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．