Question

已知P是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上的一點，F(xiàn)₁、F₂是橢圓的左、右兩焦點，若△PF₁F₂的內(nèi)切圓的半徑為

1

2

，則

PF1

•

PF2

=

9

4

．

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓的定義可知|PF₁|+|PF₂|=4，根據(jù)橢圓方程求得焦距，進而利用三角形面積公式和內(nèi)切圓的性質(zhì)建立等式求得P點縱坐標，最后利用向量坐標的數(shù)量積公式即可求得答案．

解答：解：橢圓

x2

4

+

y2

3

=1的a=2，b=

3

，c=1．
根據(jù)橢圓的定義可知|PF₁|+|PF₂|=4，|F₁F₂|=2，
不妨設P是橢圓

x2

4

+

y2

3

=1上的第一象限內(nèi)的一點，
S_△PF1F2=

1

2

（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）•

1

2

=

3

2

=

1

2

|F₁F₂|•y_P=y_P．
所以y_p=

3

2

．
則

PF1

•

PF2

=（-1-x_p，-y_P）•（1-x_P，-y_P）
=x_p²-1+y_p²
=4（1-

yp2

3

）-1+y_p²
=3-

yp2

3

=

9

4

故答案為：

9

4

．

點評：本小題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)、橢圓的定義、向量的數(shù)量積基礎知識，考查運算求解能力，考查數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．屬于基礎題．