Question

已知函數(shù)f(x)=4cosxsin(x+

π

6

)-1．
（1）求f（x）的最小正周期：
（2）已知p：θ＞

π

4

，q：函數(shù)g(x)=(θ+1)x在R上為增函數(shù)，若p∧q為假命題，p∨q為真命題，求f（θ）的值域．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先利用和角公式、二倍角公式及輔助角公式對已知換進行化簡然后結合正弦函數(shù)的性質可求函數(shù)的最小正周期
（Ⅱ）由題意先求p，q的對應的范圍，然后由p∧q為假命題，p∨q為真命題，得P和q為一真一假命題，分（1）p為真命題，q為假命題，（2）p為假命題，q為真命題分別進行求解即可

解答：解：（Ⅰ）因為f(x)=4cosxsin(x+

π

6

)-1
=4cosx（

3

2

sinx+

1

2

cosx）-1
=2

3

sinxcosx+2cos2x-1
=

3

sin2x+cos2x
=2sin（2x+

π

6

）…（4分）
所以f（x）的最小正周期為π…（6分）
（Ⅱ）由題意可得q：θ+1＞1
即q：θ＞0
由p∧q為假命題，p∨q為真命題，得P和q為一真一假命題…（8分）
（1）p為真命題，q為假命題

θ＞ π 4 θ≤0

，此時θ不存在
（2）p為假命題，q為真命題

θ≤ π 4 θ＞0

即0＜θ≤

π

4

，…（11分）
則

π

6

＜2θ+

π

6

≤

2π

3

于是，當2θ+

π

6

=

π

2

即θ=

π

6

，f（x）有最大值2
當2θ+

π

6

=

π

6

，即θ=0時，f（θ）有最小值1
所以f（θ）的值域為：（1，2]…（14分）

點評：本題主要考查了和差角公式、輔助角公式在三角函數(shù)化簡中的應用及復合命題的真假關系的應用．