Question

已知函數f(x)=-

1

2

x2+4x-3lnx在[t，t+1]上不單調，則t的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：先由函數求f′（x）=-x+4-

3

x

，再由“函數f(x)=-

1

2

x2+4x-3lnx在[t，t+1]上不單調”轉化為“f′（x）=-x+4-

3

x

=0在區(qū)間[t，t+1]上有解”從而有

x2-4x+3

x

=0在[t，t+1]上有解，進而轉化為：g（x）=x²-4x+3=0在[t，t+1]上有解，用二次函數的性質研究．

解答：解：∵函數f(x)=-

1

2

x2+4x-3lnx
∴f′（x）=-x+4-

3

x

∵函數f(x)=-

1

2

x2+4x-3lnx在[t，t+1]上不單調，
∴f′（x）=-x+4-

3

x

=0在[t，t+1]上有解
∴

x2-4x+3

x

=0在[t，t+1]上有解
∴g（x）=x²-4x+3=0在[t，t+1]上有解
∴g（t）g（t+1）≤0或

t＜2＜t+1 g(t)≥0 g(t+1)≥0 △=4＞0

∴0＜t≤1或2≤t＜3．
故答案為：0＜t≤1或2≤t＜3

點評：本題主要考查導數法研究函數的單調性，基本思路：當函數是增函數時，導數大于等于零恒成立，當函數是減函數時，導數小于等于零恒成立，然后轉化為求相應函數的最值問題．注意判別式的應用．