Question

已知橢圓，F(xiàn)₁、F₂分別為橢圓C的左、右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)（不是頂點(diǎn)），△PF₁F₂內(nèi)一點(diǎn)G滿足．
（I）求橢圓C的離心率；
（II）若橢圓C短軸長為，過焦點(diǎn)F₂的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是左右頂點(diǎn)），求△F₁AB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)，可得G是△PF₁F₂的重心，利用三角形的重心坐標(biāo)公式，確定G與P坐標(biāo)之間的關(guān)系，利用∵為橢圓上一點(diǎn)，即可求得橢圓C的離心率；
（II）先求出橢圓方程為，假設(shè)直線l：x=my+，兩者聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可表示出三角形的面積，再借助于函數(shù)的單調(diào)性，即可求得△F₁AB面積的最大值．
解答：解：（I）∵，
∴
∵，
∴G是△PF₁F₂的重心
設(shè)P（x，y），則有，∴
∵P為橢圓上一點(diǎn)
∴
∴3a²=4b²
∵b²=a²-c²
∴4c²=a²
∴
∴橢圓C的離心率為；
（II）∵若橢圓C短軸長為，∴
∵4c²=a²，∴4（a²-b²）=a²
∴a²=8，∴
∴橢圓方程為
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），l：x=my+
由，消去x，可得
∴
∴==
當(dāng)且僅當(dāng)m=0時取等號，
∴△F₁AB面積的最大值為6．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是利用向量知識，確定幾何量的關(guān)系，利用直線與橢圓的聯(lián)立，借助于韋達(dá)定理，確定三角形的面積．