Question

20．已知拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，直線2x-y+2=0交拋物線C于A、B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q．
（Ⅰ）D是拋物線C上的動點，點E（-1，3），若直線AB過焦點F，求|DF|+|DE|的最小值；
（Ⅱ）是否存在實數(shù)p，使|2$\overrightarrow{QA}$+$\overrightarrow{QB}$|=|2$\overrightarrow{QA}$-$\overrightarrow{QB}$|？若存在，求出p的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出p=4，可得拋物線方程，利用拋物線的定義求|DF|+|DE|的最小值；
（Ⅱ）假設(shè)存在，由拋物線x²=2py與直線y=2x+2聯(lián)立消去y，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通過△＞0，以及韋達(dá)定理推出P（2p，4p+2），Q（2p，2p），通過$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=0化簡，結(jié)合韋達(dá)定理，求解p即可．

解答 解：（Ⅰ）∵F（0，2），p=4，∴拋物線方程為x²=8y，準(zhǔn)線l：y=-2．
設(shè)過D作DG⊥l于G，則|DF|+|DE|=|DG|+|DE|．
當(dāng)E，D，G三點共線時，|DF|+|DE|取最小值2+3=5；
（Ⅱ）假設(shè)存在，由拋物線x²=2py與直線y=2x+2聯(lián)立消去y得：x²-4px-4p=0．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），△＞0，則x₁+x₂=4p，x₁x₂=-4p，∴Q（2p，2p）．
∵|2$\overrightarrow{QA}$+$\overrightarrow{QB}$|=|2$\overrightarrow{QA}$-$\overrightarrow{QB}$|，
∴QA⊥QB，
∴$\overrightarrow{QA}$•$\overrightarrow{QB}$=0，
∴（x₁-2p）（x₂-2p）+（y₁-2p）（y₂-2p）=0，
即（x₁-2p）（x₂-2p）+（2x₁+2-2p）（x₂+2-2p）=0，
∴5x₁x₂+（4-6p）（x₁+x₂）+8p²-8p+4=0，
代入得4p²+3p-1=0，p=$\frac{1}{4}$或p=-1（舍）．
故存在p=$\frac{1}{4}$且滿足△＞0，
∴p=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查拋物線的簡單性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．