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10.已知數(shù)列{an}滿足a1=1a2=2a2n+1=a2n1+2a2n+2=3a2nnN.?dāng)?shù)列{an}前n項(xiàng)和為Sn
(Ⅰ) 求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)若amam+1=am+2,求正整數(shù)m的值;
(Ⅲ)是否存在正整數(shù)m,使得S2mS2m1恰好為數(shù)列{an}中的一項(xiàng)?若存在,求出所有滿足條件的m值,若不存在,說明理由.

分析 (Ⅰ)化簡(jiǎn)可得數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,從而寫出通項(xiàng)公式;
(Ⅱ)分類討論即方程的解;
(Ⅲ)化簡(jiǎn)S2m=1+2+3+6+…+2m-1+2•3m-1=3m-1+m2,S2m-1=3m-1-1+m2,從而可得S2mS2m1=1+21+m213m1,從而討論求值.

解答 解:(Ⅰ)∵a1=1a2=2a2n+1=a2n1+2a2n+2=3a2nnN
∴數(shù)列{an}的奇數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,
數(shù)列{an}的偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成以2為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列,
故an=\left\{\begin{array}{l}{n,n為奇數(shù)}\\{2•{\sqrt{3}}^{n-2},n為偶數(shù)}\end{array}\right.;
(Ⅱ)若m為奇數(shù),則amam+1=m•2•\sqrt{3}m-1=m+2,
無解;
若m為偶數(shù),則amam+1=(m+1)2•\sqrt{3}m-2=2•\sqrt{3}m,
\frac{2(m+1)}{3}=2,
解得,m=2;
綜上所述,m=2;
(Ⅲ)由題意知,S2m=1+2+3+6+…+2m-1+2•3m-1
=(1+3+5+…+2m-1)+(2+6+18+…+2•3m-1
=\frac{1+2m-1}{2}•m+\frac{2(1-{3}^{m})}{1-3}
=3m-1+m2,
S2m-1=1+2+3+6+…+2m-1
=(1+3+5+…+2m-1)+(2+6+18+…+2•3m-2
=\frac{1+2m-1}{2}•m+\frac{2(1-{3}^{m})}{1-3}-2•3m-1
=3m-1-1+m2
\frac{{{S_{2m}}}}{{{S_{2m-1}}}}=\frac{{3}^{m}+{m}^{2}-1}{{3}^{m-1}+{m}^{2}-1}=1+\frac{2}{1+\frac{{m}^{2}-1}{{3}^{m-1}}},
若m=1,則\frac{{{S_{2m}}}}{{{S_{2m-1}}}}=3=a3
\frac{{m}^{2}-1}{{3}^{m-1}}=1時(shí),即m=2時(shí),\frac{{{S_{2m}}}}{{{S_{2m-1}}}}=2=a2
所有滿足條件的m值為1,2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用,同時(shí)考查了分類討論的思想應(yīng)用及整體思想的應(yīng)用,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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A.\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{3}=1B.\frac{{y}^{2}}{4}-x2=1C.y2-\frac{{x}^{2}}{4}=1D.\frac{{y}^{2}}{3}-\frac{{x}^{2}}{2}=1

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A.\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1B.\frac{x^2}{20}-\frac{y^2}{5}=1C.\frac{x^2}{5}-\frac{y^2}{20}=1D.\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1

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