Question

如圖：是y=f（x）=x³﹣2x²+3a²x的導函數y=f'（x）的簡圖，它與x軸的交點是（1，0）和（3，0）

（1）求y=f（x）的極小值點和單調減區(qū)間

（2）求實數a的值．

Answer 1

考點：

利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性．

專題：

導數的綜合應用．

分析：

（1）先利用其導函數f'（x）圖象，判斷導函數值的正負來求其單調區(qū)間，進而求得其極值．（注意是在定義域內研究其單調性）

（2）由圖知，f'（1）=0且f'（3）=0，代入導函數解析式得到關于a的方程，解出即可．

解答：

解：（1）由f（x）=x³﹣2x²+3a²x的導函數y=f'（x）的圖象可知：導函數f'（x）小于0的解集是（1，3）；

函數f（x）=x³﹣2x²+3a²x在x=1，x=3處取得極值，且在x=3的左側導數為負右側導數為正．

即函數在x=3處取得極小值，函數的單調減區(qū)間為（1，3）．

（2）由于f（x）=x³﹣2x²+3a²x的導函數f'（x）=ax²﹣4x+3a²，又由（1）知，f'（1）=0且f'（3）=0

則解得 a=1．

則實數a的值為1．

點評：

本題主要考查利用導數研究函數的極值以及函數的單調性，利用導數研究函數的單調性，求解函數的單調區(qū)間、極值、最值問題，是函數這一章最基本的知識，也是教學中的重點和難點，學生應熟練掌握．