已知點(diǎn)分別是橢圓
的左、右焦點(diǎn), 點(diǎn)
在橢圓上
上.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線若
、
均與橢圓
相切,試探究在
軸上是否存在定點(diǎn)
,點(diǎn)
到
的距離之積恒為1?若存在,請求出點(diǎn)
坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
(1);(2)滿足題意的定點(diǎn)
存在,其坐標(biāo)為
或
【解析】
試題分析:本題主要考查橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系等數(shù)學(xué)知識,考查分析問題解決問題的能力和計(jì)算能力.第一問,法一:利用焦點(diǎn)坐標(biāo)求出,由于點(diǎn)
在橢圓上,得到方程
,又因?yàn)?/span>
三個(gè)參量的關(guān)系得
,聯(lián)立,解出
,從而得到橢圓的方程;法二:利用橢圓的定義,
,利用兩點(diǎn)間的距離公式計(jì)算得出
的值,從而得到橢圓的方程;第二問,直線
與橢圓聯(lián)立,由于它們相切,所以方程只有一個(gè)根,所以
,同理直線
與橢圓聯(lián)立得到表達(dá)式
,假設(shè)存在點(diǎn)
,利用點(diǎn)到直線的距離,列出表達(dá)式,將
代入整理,使得到的表達(dá)式,解出
的值,從而得到
點(diǎn)坐標(biāo).
試題解析:(1)法一:由,得
, 1分
2分
∴橢圓
的方程為
4分
法二:由,得
, 1分
3分
∴
∴橢圓的方程為
4分
(2)把的方程代入橢圓方程得
5分
∵直線與橢圓
相切,∴
,化簡得
同理把
的方程代入橢圓方程也得:
7分
設(shè)在軸上存在點(diǎn)
,點(diǎn)
到直線
的距離之積為1,則
,即
, 9分
把代入并去絕對值整理,
或者
10分
前式顯然不恒成立;而要使得后式對任意的恒成立 則
,解得
;
綜上所述,滿足題意的定點(diǎn)存在,其坐標(biāo)為
或
12分
考點(diǎn):1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2.橢圓的定義;3.兩點(diǎn)間的距離公式;4.點(diǎn)到直線的距離公式.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(14分)已知、
分別是橢圓
的左、右焦點(diǎn),右焦點(diǎn)
到上頂點(diǎn)的距離為2,若
(1)求此橢圓的方程;
(2)點(diǎn)是橢圓的右頂點(diǎn),直線
與橢圓交于
、
兩點(diǎn)(
在第一象限內(nèi)),又
、
是此橢圓上兩點(diǎn),并且滿足
,求證:向量
與
共線
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011屆陜西省師大附中、西工大附中高三第六次聯(lián)考理數(shù) 題型:解答題
(本題滿分13分)
已知、
分別是橢圓
的左、右焦點(diǎn)。
(I)若是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn),
,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(II)設(shè)過定點(diǎn)M(0,2)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A、B,且
為銳角(其中
為坐標(biāo)原點(diǎn)),求直線
的斜率
的取值范圍。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2014屆山東省濟(jì)寧市高二3月月考數(shù)學(xué)理科試卷(解析版) 題型:選擇題
已知點(diǎn)分別是橢圓
的左、右焦點(diǎn),過
且垂直于
軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn),若
為正三角形,則該橢圓的離心率
是(
)
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2010-2011學(xué)年江西省高三模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué) 題型:解答題
(12分)已知、
分別是橢圓
的左、右焦點(diǎn),點(diǎn)B是其上頂點(diǎn),橢圓的右準(zhǔn)線與
軸交于點(diǎn)N,且
。
(1)求橢圓方程;
(2)直線:
與橢圓交于不同的兩點(diǎn)M、Q,若△BMQ是以MQ為底邊的等腰三角形,求
的值。
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