Question

20．如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是 菱形，AC=6，$BD=6\sqrt{3}$，E是PB上任意一點(diǎn)．
（1）求證：AC⊥DE；
（2）當(dāng)△AEC的面積最小時(shí)，求證：CE⊥面PAB
（3）當(dāng)△AEC的面積最小值為9時(shí)，問：線段BC上是否存在點(diǎn)G，使EG與平面PAB所成角的正切值為2？若存在，求出BG的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）連接BD，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)F，推導(dǎo)出AC⊥BD，PD⊥AC，從而AC⊥平面PDB，由此能證明AC⊥DE．
（2）連結(jié)EF，推導(dǎo)出AC⊥EF，EF⊥PB，PB⊥AC，從而PB⊥平面AEC，進(jìn)而PB⊥EC，再求出EC⊥AE，由此能證明EC⊥平面PAB．
（3）求出EF=3作GH∥CE交PB于點(diǎn)G，推導(dǎo)出∠GEH就是EG與平面PAB所成角，由此能求出存在滿足題意的點(diǎn)G，且BG=4．

解答 證明：（1）連接BD，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)F
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，所以AC⊥BD．
又∵PD⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴PD⊥AC，
而PD∩BD=D，∴AC⊥平面PDB，
又∵DE?平面PBD，∴AC⊥DE．--------------（4分）
（2）連結(jié)EF，由（I）知AC⊥平面PDB，EF?平面PBD，
∴AC⊥EF．∵${S_{△ACE}}=\frac{1}{2}AC•EF$，且AC=6
當(dāng)△ACE面積最小時(shí)，EF最小，這時(shí)EF⊥PB．-------（6分）
∵AC⊥平面PDB，∴PB⊥AC，
又∵EF∩AC=F，∴PB⊥平面AEC，∴PB⊥EC，----------------（7分）
又由 EF=AF=FC=3，可得 EC⊥AE，---------（8分）
而PB∩AE=E，
故EC⊥平面PAB．---------------------（9分）
解：（3）由已知，${（{{S_{△ACE}}}）_{min}}=\frac{1}{2}×6×EF=9$，解得EF=3
作GH∥CE交PB于點(diǎn)G，由（2）知EC⊥平面PAB，
∴GH⊥平面PAB，
∴∠GEH就是EG與平面PAB所成角，----------------------（12分）
在直角三角形CEB中，$BC=6，\;EC=3\sqrt{2}\;，\;EB=3\sqrt{2}$
∴∠CBE=45°
設(shè)BG=x，則$BH=HG=\frac{{\sqrt{2}}}{2}x$．
由tan∠GEH=2得 $EH=\frac{{\sqrt{2}}}{4}x$．
由EH+HB=EB得 x=4
即存在滿足題意的點(diǎn)G，且BG=4．----------（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線線垂直的證明，考查線面垂直的證明，考查滿足條件的線段長(zhǎng)的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．