Question

7．已知函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤6；
（2）若不等式6m²-4m＜f（x）對(duì)任意x∈R都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍，得到關(guān)于x的不等式組，解出取并集即可；
（2）求出f（x）的最小值，問題轉(zhuǎn)化為6m²-4m＜[f（x）]_min=2，解出即可．

解答 解：（1）原不等式等價(jià)于$\left\{\begin{array}{l}{x＜\frac{1}{2}}\\{4-4x≤6}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}≤x≤\frac{3}{2}\\ 2≤6\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}x＞\frac{3}{2}\\ 4x-4≤6\end{array}\right.$，
得$-\frac{1}{2}≤x＜\frac{1}{2}$或$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{3}{2}$或$\frac{3}{2}$＜x≤$\frac{5}{2}$，
∴不等式法（x）≤5的解集為[-$\frac{1}{2}$，$\frac{5}{2}$]．
（2）∵f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-（2x-3）|=2，
∴6m²-4m＜[f（x）]_min=2，
∴3m²-2m-1＜0，
解得：-$\frac{1}{3}$＜m＜1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問題，考查絕對(duì)值的性質(zhì)以及分類討論思想，是一道中檔題．