Question

2．已知整數(shù)x，y滿足不等式$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≥4\\ x-2y+8≥0\end{array}\right.$，則2x+y的最大值是24；x²+y²的最小值是8．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，代入最優(yōu)解的坐標得答案．第二問，轉(zhuǎn)化為點到原點的距離的平方，求出B的坐標代入求解即可．

解答 解：由約束條件$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≥4\\ x-2y+8≥0\end{array}\right.$，作出可行域如圖，
由z=2x+y，得y=-2x+z，由圖可知，當直線y=-2x+z過A時，直線在y軸上的截距最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=y}\\{x-2y+8=0}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=8}\\{y=8}\end{array}\right.$，A（8，8）
z最大等于2×8+8=24．
x²+y²的最小值是可行域的B到原點距離的平方，
由$\left\{\begin{array}{l}{x+y=4}\\{y=x}\end{array}\right.$可得B（2，2）．
可得2²+2²=8．
故答案為：24；8．

點評 本題考查了簡單的線性規(guī)劃，表達式的幾何意義的解題的關(guān)鍵，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．