Question

16．已知兩個(gè)母線(xiàn)長(zhǎng)相等的圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖恰能拼成一個(gè)圓，且它們的側(cè)面積之比為1：2，求它們的高之比．

Answer 1

分析 設(shè)母線(xiàn)長(zhǎng)為l，小圓錐半徑為r、高為h，大圓錐半徑為R，高為H，根據(jù)側(cè)面積之比可得R=2r．再由圓錐側(cè)面展開(kāi)扇形圓心角的公式得到l=3r，利用勾股定理得到h、H關(guān)于r的式子，即可求出它們的比值．

解答 解：設(shè)圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為l，側(cè)面積較小的圓錐半徑為r，側(cè)面積較大的圓錐半徑為R，它們的高分別為h、H，
它們的側(cè)面積之比為1：2，
則πrl：πRl=1：2，得R=2r
∵兩圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)圓，
∴$\frac{2π}{3}$=$\frac{r}{l}$×2π，得l=3r．再由勾股定理，得h=$\sqrt{{l}^{2}-{r}^{2}}$=2$\sqrt{2}$r
同理可得，H=$\sqrt{{l}^{2}-{R}^{2}}$=$\sqrt{5}$r
∴兩個(gè)圓錐的高之比為：$\frac{2\sqrt{2}r}{\sqrt{5}r}$=$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題給出母線(xiàn)相等的兩個(gè)圓錐側(cè)面積的比，并且側(cè)面展開(kāi)圖恰好拼成一個(gè)圓，求它們的高之比，著重考查了圓錐側(cè)面展開(kāi)圖的認(rèn)識(shí)，屬于中檔題．